Погрешности измерений и обработка данных
Результат без погрешности выглядит точнее, чем есть на самом деле. В учебных работах за это снижают оценку, в научных — ставят под сомнение выводы.
Разберём основные понятия и порядок обработки.
Виды погрешностей
Случайные меняются от измерения к измерению.
Систематические смещают все результаты в одну сторону.
Грубые ошибки — промахи, которые нужно обнаружить и исключить.
Приборная точность
Определяется классом точности или паспортом прибора.
Для цифровых приборов часто указывают формулу с постоянной и относительной частью.
Не путайте цену деления с погрешностью.
Среднее значение
При повторных измерениях результат оценивают средним арифметическим.
Среднее снижает влияние случайных отклонений.
Оно не устраняет систематическую ошибку.
Стандартное отклонение
Показывает разброс измерений вокруг среднего.
Выборочное стандартное отклонение считается по формуле с делением на n−1.
Для среднего используют стандартную ошибку среднего.
Число измерений
Больше измерений — меньше случайная составляющая.
Но после определённого предела выгоднее устранить источник шума, чем увеличивать n.
В учебных работах обычно достаточно 5–10 измерений.
Косвенные измерения
Величина вычисляется из нескольких измеренных.
Погрешности складываются по правилам: для сумм и разностей — абсолютные, для произведений и степеней — относительные.
Квадратичное суммирование применяется для независимых случайных погрешностей.
Пример расчёта
Плотность вычисляется как масса, делённая на объём.
Относительные погрешности массы и объёма складываются квадратично.
Итоговая абсолютная погрешность получается умножением относительной на значение.
Округление
Погрешность округляют до одной значащей цифры, в крайнем случае до двух.
Результат округляют до того же разряда.
Промежуточные вычисления ведут с запасом цифр.
Запись результата
Формат: значение плюс-минус погрешность, с единицами.
Единицы указывают один раз, если они одинаковы.
Не пишите лишние нули: они создают ложную точность.
Систематические ошибки
Их нельзя уменьшить повторением.
Причины: смещение нуля, неверная калибровка, влияние температуры.
Иногда их можно оценить и внести поправку.
Графическая обработка
На графике показывают точки и планки погрешностей.
Линия тренда строится с учётом погрешностей.
Коэффициент наклона также имеет погрешность.
Проверка согласованности
Сравните результат с табличным значением.
Учтите, что табличное значение тоже имеет погрешность.
Расхождение в пределах двух-трёх погрешностей обычно считается допустимым.
Оформление в отчёте
Опишите методику оценки погрешности.
Приведите формулы и промежуточные значения.
Укажите, какие источники погрешности не учтены.
Доверительный интервал
Для ограниченного числа измерений используют коэффициент Стьюдента.
Он зависит от числа измерений и выбранной доверительной вероятности.
Результат записывают как интервал, а не как точное число.
Взвешенное среднее
Если измерения имеют разную точность, среднее взвешивают по обратным квадратам погрешностей.
Более точные измерения вносят больший вклад.
Метод требует, чтобы погрешности были оценены корректно.
Метод наименьших квадратов
Для линейной зависимости находят коэффициенты, минимизирующие сумму квадратов отклонений.
Погрешности коэффициентов также вычисляются.
Строить линию «на глаз» нельзя, если требуется оценка.
Пример оформления
Масса: 12,4 ± 0,2 г.
Объём: 8,0 ± 0,1 см³.
Плотность: 1,55 ± 0,03 г/см³.
Проверьте, что разрядность согласована.
Что писать в выводах
Укажите, какие источники погрешности доминируют.
Предложите, как уменьшить вклад основного источника.
Сравните результат с табличным значением в пределах погрешности.
Случайная и приборная составляющие
Суммарная погрешность учитывает обе.
Если одна составляющая значительно меньше другой, её вклад мал.
Но нельзя игнорировать составляющую, которая сравнима с основной.
Как оценить приборную погрешность
Посмотрите паспорт или шкалу прибора.
Для аналоговых приборов — половина цены деления.
Для цифровых — по формуле производителя.
Систематика в учебной работе
Оценить систематическую ошибку сложно без эталона.
Опишите возможные источники.
Не приписывайте ей весь разброс.
Представление в таблице
Укажите погрешность для каждой величины.
Не дублируйте её в каждой строке, если она постоянна.
Поясните в подписи.
Сравнение с теорией
Сформулируйте, согласуется ли результат.
Если нет, проверьте расчёт и условия эксперимента.
Вывод должен следовать из данных.
Единицы погрешности
Погрешность имеет те же единицы, что и величина.
Относительная погрешность безразмерна или выражается в процентах.
Не смешивайте их в одной таблице.
Типичные ошибки студентов
Сложение абсолютной и относительной погрешностей.
Округление до большего числа цифр, чем позволяет точность.
Игнорирование приборной составляющей и сравнение чисел с точностью, которой у данных нет.
Итоговая проверка
Погрешность не больше самого значения по порядку.
Разрядность согласована.
Единицы указаны.
Сравнение с теорией корректно: учитывается погрешность табличного значения, а не только собственная.
Связь с числом значащих цифр
Значащие цифры отражают точность, а не удобство записи.
Нули в конце целого числа могут быть значимыми или нет.
Используйте экспоненциальную запись, если это неочевидно.
Как объяснить выбор метода
Укажите, почему выбрана такая оценка погрешности.
Опишите, какие источники учтены.
Это показывает понимание, а не механическое применение формулы.
Чек-лист
- Виды погрешностей определены.
- Приборная точность учтена.
- Среднее и разброс посчитаны.
- Косвенные погрешности вычислены.
- Результат округлён.
- Единицы указаны.
Частые вопросы
Сколько значащих цифр оставлять в погрешности?
Обычно одну, иногда две.
Нужно ли учитывать погрешность табличных данных?
Да, если она сопоставима с вашей.
Что делать с промахом?
Исключить, описав критерий исключения.